kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan itu. Dalam bahasa Inggris KPK dikenal dengan Least Common Multiple (LCM), sering dijuga disebut sebagai Lowest Common Multiple (LCM) atau Smallest Common Multiple (SCM),
Untuk FPB dan KPK diperlukan bilangan prima juga faktorisasi prima. Bilangan prima merupakan bilangan yang sudah tidak asing lagi yaitu bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1, yang termasuk dalam bilangan prima {2,3,5,7,11,…..}. Perhatikan bahwa 1 bukan merupakan bilangan prima karena ia hanya mempunyai satu faktor.
Sedangkan Faktorisasi prima merupakan penguraian bilangan menjadi perkalian faktor-faktor prima. Untuk melakukan faktorisasi prima ini diperlukan pohon faktor.
Cara mencari FPB dari beberapa bilangan yaitu dengan mengalikan faktor-faktor prima yang sama dan berpangkat terkecil. KPK dapat dicari dengan cara mengalikan faktor-faktor yang berbeda. Jika ada faktor yang sama, diambil yang berpangkat terbesar.1. Faktorisasi Prima
Mencari FPB dan KPK dengan menjabarkan faktorisasi prima bilangan-bilangan yang ada. Cari terlebih dahulu dengan menggunakan faktorisasi prima. Untuk mencari faktor prima dari sebuah bilangan, kita dapat membagi bilangan itu dengan bilangan prima secara berulang-ulang. FPB dapat pula dicari dengan menggunakan faktorisasi prima yaitu dengan bantuan pohon faktor. Perhatikan contoh berikut.
Langkah 1
Tentukan FPB dari 28, 48, dan 60.
Dari faktorisasi prima di atas diperoleh faktor prima sebagai berikut.
Faktor 28 = 2² x 7
Faktor 48 = 2⁴ x 3
Faktor 60 = 2² x 3 x 5
Langkah 2
Carilah faktor prima dengan pangkat terkecil
FPB = 2² = 4
Kalikan faktor-faktor yang berbeda. Jika ada faktor yang sama, diambil yang berpangkat terbesar
KPK= 2⁴ x 3 x 5 x 7 = 1.680
2. Pembagian
FPB = 2 x 2 = 4 (faktor yang bisa membagi ketiga bilangan)
KPK = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 1.680 (kalikan semua faktor)
Contoh Soal FPB
| No. | Soal | Pembahasan |
|---|---|---|
| 1. | Bu Citra ingin membuat parsel buah dari 24 buah mangga, 40 buah apel, dan 72 buah jeruk. Bu Citra ingin membuat parsel sebanyak-banyaknya dengan jumlah dan jenis buah yang sama di setiap keranjang. Dapatkah kamu membantu menghitung banyak keranjang yang dibutuhkan? | Faktorisasi prima : 40 = 2³ × 5 72 = 2³ × 3² FPB = 2³ = 8 Jadi keranjang yang dibutuhkan sebanyak 8 buah. |
| 2. | Bu Citra mendapat pesanan parsel dengan bahan 27 sirop, 63 biskuit, dan 81 permen cokelat. Bu Citra ingin membuat parsel dari bahan tersebut sebanyak-banyaknya dengan jenis dan banyak isi yang sama. Dapatkah kamu membantu Bu Citra menghitung jumlah keranjang yang harus disiapkan? | Faktorisasi prima : 27 = 3³ 63 = 3² x 7 81 = 3⁴ FPB = 3² = 9 |
| 3. | Bu Citra sedang menghias parsel. Ia mempunyai persediaan pita merah sepanjang 16 meter, pita biru 32 meter, dan pita kuning 40 meter. Pita-pita tersebut digunakan untuk menghias parsel sebanyak-banyaknya dengan warna dan panjang yang sama tiap parselnya. Dapatkah kamu membantu menghitung banyak parsel yang dapat dihias Bu Citra? | Faktorisasi prima : 16 = 2⁴ 32 = 2⁵ 40 =2³ x 5 FPB = 2³ = 8 |
| 4. | Bu Citra akan membuat parsel keramik dengan bahan 36 teko keramik, 90 gelas keramik, dan 126 piring makan keramik. Setiap parsel berisi bahan-bahan tersebut dengan jenis dan banyak yang sama. Dapatkah kamu membantu menghitung banyak keranjang yang harus disiapkan? | Faktorisasi prima : 36 =2² x 3² 90 = 2 x 3² x 5 126 = 2 x 3² x 7 FPB = 2 x 3² = 18 |
| 5. | Bu Citra mendapat pesanan parsel untuk anak sekolah. Bu Citra membeli 75 bolpoin seharga Rp60.000,00, 45 buku gambar seharga Rp72.000,00, dan 150 buku tulis seharga Rp225.000,00. Ketiga jenis barang tersebut akan dimasukkan ke dalam parsel. Setiap parsel berisi jenis dan jumlah sama. Parsel tersebut dijual dengan harga Rp28.000,00 per parsel.
| Faktorisasi prima : 75 = 3 x 5² 45 = 3² x 5 150 = 2 x 3 x 5² FPB = 3 x 5 = 15 Keuntungan = Modal = 60.000+72.000+225.000 =357.000 Penjualan = 15 x 28.000 = 420.000 Keuntungan = 420.000-357.00 =63.000 |
| No. | Soal | Pembahasan |
|---|---|---|
| 1. | Sebuah truk A berhenti setelah berjalan 150 km. Truk B berhenti setelah berjalan 170 km. Jika kedua truk berangkat pada tempat dan waktu yang sama, pada kilometer berapakah kedua truk itu akan berhenti bersama-sama? | Faktorisasi prima : 150 = 2 x 3 x 5² 170 = 2 x 5 x 17 KPK = 2 x 3 x 5² x 17 = 2.550 |
| 2. | Pak Hadi dan Pak Jayin pedagang bakso. Pak Hadi berbelanja ke pasar setiap 8 hari sekali, sedangkan Pak Jayin setiap 6 hari sekali. Pada tanggal 25 Agustus 2008, Pak Hadi dan Pak Jayin berbelanja ke pasar bersama-sama. Pada tanggal berapa mereka akan berangkat ke pasar bersama-sama lagi? | Faktorisasi prima : 8 = 2³ 6 = 2 x 3 KPK = 2³ x 3 = 24 24+25 - 31 = 18 September |
| 3. | Dewi berenang setiap 5 hari sekali. Fara berenang seminggu sekali. Gisca berenang 8 hari sekali. Jika hari ini mereka berenang bersama-sama, berapa hari lagi mereka akan berenang bersama-sama lagi? | Faktorisasi prima : 5 = 5 8 = 2³ KPK = 2³ x 5 = 40 |
| 4. | Untuk meraih penghargaan Adipura, jalan-jalan di kota Baru dibuat semakin menarik. Di kiri jalan dipasang bendera tiap 25 m. Di pembatas jalur tengah jalan dipasang lampu tiap 30 m. Di kanan jalan terdapat tiang listrik tiap 50 m. Tiap berapa meter bendera, lampu, dan tiang listrik letaknya sebaris. | Faktorisasi prima : 25 = 5² 30 = 2 x 3 x 5 50 = 2 x 5² KPK = 2 x 3 x 5² = 150 |
| 5. | Bus Anggrek berangkat dari terminal Agung setiap 15 menit sekali. Bus Mawar berangkat dari terminal Agung setiap 20 menit sekali. Jika pada pukul 05.00 bus Anggrek dan bus Mawar berangkat bersama-sama, pukul berapa bus Anggrek dan bus Mawar berangkat bersama-sama untuk kedua kalinya? | Faktorisasi prima : 15 = 3 x 5 20 = 2² x 5 KPK = 2² x 3 x 5 = 60 menit (1 jam) 5 + 1 = 6 |
| 6. | Toni dan Dion bermain tepuk tangan berpasangan. Toni bertepuk tangan tiap 40 detik. Dion bertepuk tangan tiap 1 menit. Dalam waktu 10 menit, berapa kali mereka tepuk tangan bersama-sama? | Faktorisasi prima : 40 =2³ x 5 60 = 2² x 3 x 5 KPK = 2³ x 3 x 5 = 120 Waktu 10 x 60 = 600 detik 600 ; 120 = 5 |
| 7. | Di suatu menara, terdapat dua buah lonceng. Lonceng pertama berdentang setiap 12 menit dan lonceng kedua setiap 16 menit. Jika kedua lonceng berdentang bersamaan pada pukul 24.00, berapa kali kedua lonceng tersebut berdentang bersamaan mulai dari pukul 24.00 sampai pukul 06.00? | Faktorisasi prima : 12 =2² x 3 16 = 2⁴ KPK = 2⁴ x 3 = 48 Waktu = 6 x 60 = 360 menit 360 :48 = 7 |